Sur le problème de la mesure

Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{a+h}^{b+h}f(x-h)dx}$ 2. Quels que soient a, b, c, on a ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_b^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{a}f\left(x\right)dx=0}$ 3. ${\displaystyle {\int }_a^b[f\left(x\right)+\phi \left(x\right)]dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^b\phi \left(x\right)dx}$ 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge 0}$. 5. On a ${\displaystyle {\int }_0^{1}adx=1}$. 6. Si ${\displaystyle f_n\left(x\right)}$ tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f_{n}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E_0) =1 pour un ensemble E_0 de l'espace considéré, 3. ${\displaystyle m(E_1+E_2)=m\left(E_1\right)+m\left(E_2\right)}$, si ${\displaystyle E_1{E}_2=0}$, 4. ${\displaystyle m\left(E_1\right)=m\left(E_2\right)}$ si les ensembles ${\displaystyle E_1}$ et ${\displaystyle E_2}$ sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. ${\displaystyle f\left(X_0\right)=1}$ pour un certain ensemble ${\displaystyle X_0}$ tel que m${\displaystyle \left(X_0\right)=1}$, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. ${\displaystyle f\left(X_1\right)\ne m\left(X_1\right)}$ pour un certain ensemble ${\displaystyle X_1}$ mesurable (L).