Sur les fonctions d'ensemble additives et continues

Soit ${\displaystyle E_0}$ un ensemble borné donné de points dans un espace à m dimensions, soit E un ensemble variable, contenu dans ${\displaystyle E_0}$ et mesurable (L). On appelle une fonction d'ensemble f(E) (dont la valeur f(E) est un nombre réel (fini) déterminé pour les sous - ensembles de ${\displaystyle E_0}$) additive (simplement) dans ${\displaystyle E_0}$, si sa valeur sur un ensemble somme de deux sous-ensembles mesurables de ${\displaystyle E_0}$ sans point commun est la somme de ses valeurs sur chacun de ces sous-ensembles. La fonction additive f(E) est dite continue dans ${\displaystyle E_0}$ si elle tend vers zéro avec le diamètre de ${\displaystyle E\in E_0}$ , elle est dite absolument continue, si elle tend vers zéro avec la mesure de ${\displaystyle E\in E_0}$. Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Une fonction additive et continue f(E) qui prend pour deux sous - ensembles ${\displaystyle E_1}$ et ${\displaystyle E_2}$ d'un ensemble borné ${\displaystyle E_0}$ des valeurs ${\displaystyle f\left(E_1\right)}$ et ${\displaystyle f\left(E_2\right)}$, prend, pour un sous-ensemble convenable (mesurable) de ${\displaystyle E_0}$ toute valeur intermédiaire entre ${\displaystyle f\left(E_1\right)}$ et ${\displaystyle f\left(E_2\right)}$.