Sur la décomposition d'un domaine en deux sous-ensembles punctiformes

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Prémisse: A est un domaine plan. Thèses: il n'existe aucune [il existe une] décomposition ${\displaystyle A=A_1+A_2}$ telle que 1. ${\displaystyle A_1\times A_2=0}$; 2. ${\displaystyle A_1}$ et ${\displaystyle A_2}$ sont punctiformes; 3. ${\displaystyle A_1}$ est ${\displaystyle F_{\sigma }}$ (donc ${\displaystyle A_2}$ est ${\displaystyle G_{\delta }}$) [${\displaystyle A_1}$ est ${\displaystyle F_{\sigma \delta }}$ (donc ${\displaystyle A_2}$ est ${\displaystyle G_{\sigma \delta }}$)];