Sur les fonctions de classe 1

Le but de cette note est de trouver la solution de problème suivant: Problème: Peut on représenter toute fonction de classe 1 par une différence des deux fonctions semi-continues supérieurement? et de démontrer le théorème general: Théorème: Prémisse: f(x) est une fonction bornée de classe 1 dans un intervalle I. Thèse: Pour tout nombre ϵ > 0 il existe deux fonctions ${\displaystyle G_1\left(x\right),G_2\left(x\right)}$ semicontinues supérieurement dans I et telles que: ${\displaystyle |f\left(x\right)-[G_1\left(x\right)-G_2\left(x\right)]|\le ϵx\subset I}$.