Sur les ensembles quasi-connexes

Cette note contient la solution d'un problème posé par Sierpiński (voir p. 81): Définition: Un ensemble A est quasi-connexe si à tout point p ⊂ A on peut faire correspondre un nombre λ > 0 de manière qu'il n'existe aucune décomposition ${\displaystyle A=A_1+A_2}$ remplissant les conditions: ${\displaystyle A_1\times {Ā}_2={Ā}_1\times A_2=0p\subset A_1;\delta \left(A_1\right)<\lambda }$ Théorème: Il existe un ensemble plan A quasi-connexe et tel que tous deux points de A sont séparés dans A.