Sur l'approximation des fonctions de première classe

Mazurkiewicz a établi une propriété remarquable de fonctions de première classe. Il a montré, en se servant de nombres transfinis, qu'étant donnée une fonction f(x) bornée de classe 1 de Baire et un nombre positif ϵ, on peut construire une fonction φ(x) qui est une différence de deux fonctions semi-continues supérieurement et qui vérifie l'inégalité ${\displaystyle |f\left(x\right)-\phi \left(x\right)|\le ϵ}$ Or un théorème analogue a été énoncé par de la Vallée Poussin: Soit f une fonction bornée de classe 1: on peut quel que soit ϵ positif donné, déterminer une fonction de classe 1 qui ne prend qu'un nombre limité de valeurs différentes et qui est égale à f à moins de ϵ près. Le but de cette note est de donner une démonstration élémentaire des théorèmes de Mazurkiewicz et celui de de la Vallée Poussin, en les généralisant aux fonctions non bornées.