PL EN


Preferencje help
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników
2013 | 132 | 1 | 27-34
Tytuł artykułu

Cyclic mean-value inequalities for the gamma function

Autorzy
Treść / Zawartość
Warianty tytułu
Języki publikacji
EN
Abstrakty
EN
We present two cyclic inequalities involving the classical Γ-function of Euler and the (unweighted) power mean <br> $M_t(a,b) = ((a^t + b^t)/2)^{1/t}$ (t ≠ 0), M₀(a,b) = √(ab) (a,b>0).<br>(I) Let 2 ≤ n ∈ ℕ and r ∈ ℝ. The inequality <br> $∏_{j=1}^{n} Γ(1/(1 + M_r(x_j,x_{j+1}))) ≤ ∏_{j=1}^{n} Γ(1/(1 + x_j)) (x_{n+1} = x₁)$ <br> holds for all $x_j > 0$ (j = 1,..., n) if and only if r ≤ 0. (II) Let 2 ≤ n ∈ ℕ and s ∈ ℝ. The inequality <br> $∏_{j=1}^{n} Γ(1/(1 + x_j)) ≤ ∏_{j=1}^{n} Γ(1/(1 + M_s(x_j,x_{j+1}))) (x_{n+1} = x₁)$ <br> is valid for all $x_j > 0$ (j = 1,...,n) if and only if <br> $s ≥ max_{0<x<1} P(x) = 1.0309...$. <br> Here, <br> P(x) = 2x - 1 + x(x-1) ψ'(x)/ψ(x) and ψ = Γ'/Γ.
Słowa kluczowe
Twórcy
autor
  • Morsbacher Str. 10, D-51545 Waldbröl, Germany
Bibliografia
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.bwnjournal-article-doi-10_4064-cm132-1-3
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.