PL EN

Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników
Czasopismo

## Annales Polonici Mathematici

2004 | 83 | 1 | 87-93
Tytuł artykułu

### A proof of the Livingston conjecture for the fourth and the fifth coefficient of concave univalent functions

Autorzy
Treść / Zawartość
Warianty tytułu
Języki publikacji
EN
Abstrakty
EN
Let D denote the open unit disc and f:D → ℂ̅ be meromorphic and injective in D. We further assume that f has a simple pole at the point p ∈ (0,1) and an expansion
$f(z) = z + ∑_{n=2}^{∞} aₙ(f)zⁿ$, |z| < p.
In particular, we consider f that map D onto a domain whose complement with respect to ℂ̅ is convex. Because of the shape of f(D) these functions will be called concave univalent functions with pole p and the family of these functions is denoted by Co(p). It is proved that for p ∈ (0,1) the domain of variability of the coefficient aₙ(f), f ∈ Co(p), for n ∈ {2,3,4,5} is determined by the inequality
$|aₙ(f) - (1 - p^{2n+2})/(p^{n-1}(1-p⁴))| ≤ (p²(1 - p^{2n-2}))/(p^{n-1}(1-p⁴)). In the said cases, this settles a conjecture from . The above inequality was proved for n = 2 in  and  by different methods and for n = 3 in . A consequence of this inequality is the so called Livingston conjecture (see )$Re(aₙ(f)) ≥ (1 + p^{2n})/(p^{n-1}(1+p²))\$.
Słowa kluczowe
Kategorie tematyczne
Czasopismo
Rocznik
Tom
Numer
Strony
87-93
Opis fizyczny
Daty
wydano
2004
Twórcy
autor
• Institut für Analysis, TU Braunschweig, 38106 Braunschweig, Germany
Bibliografia
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.