PL EN


Preferencje help
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników
2014 | 112 | 3 | 223-237
Tytuł artykułu

Sum of squares and the Łojasiewicz exponent at infinity

Treść / Zawartość
Warianty tytułu
Języki publikacji
EN
Abstrakty
EN
Let V ⊂ ℝⁿ, n ≥ 2, be an unbounded algebraic set defined by a system of polynomial equations $h₁(x) = ⋯ = h_{r}(x) = 0$ and let f: ℝⁿ→ ℝ be a polynomial. It is known that if f is positive on V then $f|_{V}$ extends to a positive polynomial on the ambient space ℝⁿ, provided V is a variety. We give a constructive proof of this fact for an arbitrary algebraic set V. Precisely, if f is positive on V then there exists a polynomial $h(x) = ∑_{i=1}^{r} h²_{i}(x)σ_{i}(x)$, where $σ_{i}$ are sums of squares of polynomials of degree at most p, such that f(x) + h(x) > 0 for x ∈ ℝⁿ. We give an estimate for p in terms of: the degree of f, the degrees of $h_{i}$ and the Łojasiewicz exponent at infinity of $f|_{V}$. We prove a version of the above result for polynomials positive on semialgebraic sets. We also obtain a nonnegative extension of some odd power of f which is nonnegative on an irreducible algebraic set.
Słowa kluczowe
Twórcy
  • Laboratoire de Mathématiques (LAMA), Université de Savoie, UMR-5127 de CNRS, 73-376 Le Bourget-du-Lac Cedex, France
  • Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, 90-238 Łódź, Poland
  • Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, 90-238 Łódź, Poland
  • Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, 90-238 Łódź, Poland
Bibliografia
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.bwnjournal-article-doi-10_4064-ap112-3-2
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.