PL EN


Preferencje help
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników
1996 | 69 | 2 | 267-270
Tytuł artykułu

On the volume method in the study of Auerbach bases of finite-dimensional normed spaces

Treść / Zawartość
Warianty tytułu
Języki publikacji
EN
Abstrakty
EN
In this note we show that if the ratio of the minimal volume V of n-dimensional parallelepipeds containing the unit ball of an n-dimensional real normed space X to the maximal volume v of n-dimensional crosspolytopes inscribed in this ball is equal to n!, then the relation of orthogonality in X is symmetric. Hence we deduce the following properties: (i) if V/v=n! and if n>2, then X is an inner product space; (ii) in every finite-dimensional normed space there exist at least two different Auerbach bases and (iii) the finite-dimensional normed space X is an inner product space provided any two Auerbach bases are isometrically equivalent. Property (i) generalizes a result of Lenz [8], and (iii) answers a question of R. J. Knowles and T. A. Cook [7].
Słowa kluczowe
Rocznik
Tom
69
Numer
2
Strony
267-270
Opis fizyczny
Daty
wydano
1996
otrzymano
1994-04-15
poprawiono
1995-02-15
Twórcy
  • Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Ukrainian Academy of Sciences, Naukova 3b, 290053 L'viv, Ukraine
Bibliografia
  • [1] H. Auerbach, O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych (On the area of convex curves with conjugate diameters), Ph.D. thesis, L'viv University, 1930 (in Polish).
  • [2] H. Auerbach, Über eine Eigenschaft der Eilinien mit Mittelpunkt, Ann. Soc. Polon. Math. 9 (1930), 204.
  • [3] H. Auerbach, Sur les groupes linéaires bornés, I-III, Studia Math. 4 (1933), 113-127, 158-166; 5 (1934), 43-49.
  • [4] S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932.
  • [5] M. M. Day, Polygons circumscribed about closed convex curves, Trans. Amer. Math. Soc. 62 (1947), 315-319.
  • [6] R. C. James, Inner products in normed linear spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 559-566.
  • [7] R. J. Knowles and T. A. Cook, Some results on Auerbach bases for finite-dimensional normed spaces, Bull. Soc. Roy. Sci. Liège 42 (1973), 518-522.
  • [8] H. Lenz, Eine Kennzeichnung des Ellipsoids, Arch. Math. (Basel) 8 (1957), 209-211.
  • [9] A. Yu. Levin and Yu. I. Petunin, Some questions connected with the notion of orthogonality in a Banach space, Uspekhi Mat. Nauk 18 (3) (1963), 167-170 (in Russian).
  • [10] A. Pełczyński and S. J. Szarek, On parallelepipeds of minimal volume containing a convex symmetric body in $ℝ^n$, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 109 (1991), 125-148.
  • [11] A. Pietsch, Operator Ideals, Deutsch. Verlag Wiss., Berlin, 1978.
  • [12] S. Rolewicz, Metric Linear Spaces, Reidel and PWN, Dordrecht-Warszawa, 1985.
  • [13] A. F. Ruston, Auerbach's theorem and tensor products of Banach spaces, Proc. Cambridge Philos. Soc. 58 (1962), 476-480.
  • [14] A. E. Taylor, A geometric theorem and its application to biorthogonal systems, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 614-616.
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.bwnjournal-article-cmv69i2p267bwm
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.