Moyennes sphériques et opérateur de Helmholtz itéré

Il est bien connu qu'une fonction ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle {ℝ}^n}$ est harmonique - Δf = 0 - si et seulement si sa moyenne sur toute sphère est égale à sa valeur au centre de cette sphère. De manière semblable, f vérifie l'équation de Helmholtz Δf + cf = 0 si et seulement si sa moyenne sur la sphère de centre x et de rayon r vaut ${\displaystyle \Gamma \left(\frac{n}{2}\right){(r\surd \frac{c}{2})}^{\frac{2-n}{2}}{J}_{\frac{n-2}{2}}(r\surd c)·f\left(x\right)}$. Dans ce travail, nous généralisons ces résultats à l'opérateur ${\displaystyle {(\Delta +c)}^k}$ où k est un entier strictement positif et c une constante non nulle. Bien qu'une méthode pour y parvenir soit esquissée dans [CH] (pp. 286-289), il semble que les calculs explicites nécessaires n'aient jamais été faits en toute généralité pour cet opérateur (voir, pour le cas n=3, [F], p. 87). La formule de la moyenne à laquelle nous aboutissons permet de démontrer - résultat cité par Herz ([H], p. 711) - qu'une fonction bornée f dont le spectre est dans ${\displaystyle S^{n-1}}$ vérifie ${\displaystyle {(\Delta +4{\pi }^2)}^{k}f=0}$ où ${\displaystyle k=\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor }$, et ceci sans utiliser Beurling-Pollard.