Analyse 2-microlocale et développementen série de chirps d'une fonction de Riemann et de ses généralisations

En dimension 1 on analyse la fonction irrégulière ${\displaystyle r\left(x\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-p}\sin \left(n^{p}x\right)}$ (p entier ≥ 2) en un point ${\displaystyle x_0}$ de dérivabilité (π est un tel point) et on démontre que le terme d'erreur est un chirp de classe (1 + 1/(2p-2), 1/(p-1), (p-1)/p). La fonction r(x) est dans l'espace 2-microlocal ${\displaystyle C_{x_0}^{s,s\prime }}$ si et seulement si s+s' ≤ 1 - 1/p et ps+s'≤ p - 1/2. En dimension 2, on obtient en (π,π) l'existence d'un plan tangent pour la surface ${\displaystyle z={\sum }_{m,n=1}^{\infty }{(m^2+n^2)}^{-\gamma }\sin (m^{2}x+n^{2}y)}$ dès que γ>1.