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Czasopismo
2000 | 95 | 1 | 61-65
Tytuł artykułu

Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind

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Treść / Zawartość
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FR
Abstrakty
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1. Introduction et notations. Soit K un corps de nombres de degré n, de signature $(r_1,r_2)$ et de discriminant $d_K$. Dans [Od], A. M. Odlyzko évoque le problème de savoir l'ordre de grandeur du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind. Dans cette direction, une conjecture a été énoncée dans [To] qui dit que la hauteur du premier zéro est majorée par $C/ln(|d_K|)$ où C est une constante positive qui ne dépend que de n. L'idée de cette dernière inégalité provient d'un théorème de densité (sous GRH) dû a S. Lang [La1]. Malgré les progrés numériques sur la question (voir [Om] et [To]), nous ne sommes toujours pas en mesure de confirmer expérimentalement cette conjecture. Cependant nous disposons d'un résultat théorique dû à A. Neugebauer [Ne1], [Ne2] qui montre que la hauteur du premier zéro est majorée par $C/ln ln ln(|d_K|)$.
Dans ce qui suit nous donnerons une amélioration de cette inégalité qui sous (GRH) aboutit à la majoration $C/ln ln(|d_K|)$. L'outil crucial de la preuve, comme nous le verrons, sont les formules explicites de Weil.
Dans la suite, la notation ≪ réfère à une constante absolue alors que la notation $≪_n$ réfère à une constante qui dépend uniquement de n.
Słowa kluczowe
Czasopismo
Rocznik
Tom
95
Numer
1
Strony
61-65
Opis fizyczny
Daty
wydano
2000
otrzymano
1999-09-21
poprawiono
1999-12-27
Twórcy
autor
  • Laboratoire d'Algorithmique Arithmétique, Université Bordeaux I, 351 cours de la Libération, F-33405 Talence Cedex, France
Bibliografia
  • [Ap] T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.
  • [La1] S. Lang, On the zeta function of number fields, Invent. Math. 12 (1971), 337-345.
  • [La2] S. Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1968.
  • [Me] J.-F. Mestre, Courbes elliptiques et formules explicites, dans : Seminar on Number Theory, Paris, 1981-82, Progr. Math. 38, Birkhäuser, 1983, 179-187.
  • [Mu] M. R. Murty, Simple zeros of L-functions, dans : Number Theory, R. Mollin (ed.), de Gruyter, 1989, 427-439.
  • [Mu-Mu] M. R. Murty and V. K. Murty, Non-vanishing of L-Functions and Applications, Birkhäuser, 1997.
  • [Ne1] A. Neugebauer, On the zeros of the Dedekind zeta function near the real axis, Funct. Approx. Comment. Math. 16 (1988), 165-167.
  • [Ne2] A. Neugebauer, On zeros of zeta functions in low rectangles in the critical strip, Ph.D. thesis, A. Mickiewicz University, Poznań, Poland, 1985.
  • [Od] A. M. Odlyzko, Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: A survey of recent results, Sém. Théor. Nombres Bordeaux 2 (1990), 119-141.
  • [Om] S. Omar, Localization of the first zero of the Dedekind zeta function, Math. Comp., à paraître.
  • [Po] G. Poitou, Sur les petits discriminants, Sém. Delange-Pisot-Poitou, 18e année, 1976//77, no. 6.
  • [To] E. Tollis, Zeros of Dedekind zeta functions in the critical strip, Math. Comp. 66 (1997), 1295-1321.
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
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