Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind

1. Introduction et notations. Soit K un corps de nombres de degré n, de signature ${\displaystyle (r_1,r_2)}$ et de discriminant ${\displaystyle d_K}$. Dans [Od], A. M. Odlyzko évoque le problème de savoir l'ordre de grandeur du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind. Dans cette direction, une conjecture a été énoncée dans [To] qui dit que la hauteur du premier zéro est majorée par ${\displaystyle \frac{C}{\ln \left(\left|d_K\right|\right)}}$ où C est une constante positive qui ne dépend que de n. L'idée de cette dernière inégalité provient d'un théorème de densité (sous GRH) dû a S. Lang [La1]. Malgré les progrés numériques sur la question (voir [Om] et [To]), nous ne sommes toujours pas en mesure de confirmer expérimentalement cette conjecture. Cependant nous disposons d'un résultat théorique dû à A. Neugebauer [Ne1], [Ne2] qui montre que la hauteur du premier zéro est majorée par ${\displaystyle \frac{C}{\ln \ln \ln \left(\left|d_K\right|\right)}}$. Dans ce qui suit nous donnerons une amélioration de cette inégalité qui sous (GRH) aboutit à la majoration ${\displaystyle \frac{C}{\ln \ln \left(\left|d_K\right|\right)}}$. L'outil crucial de la preuve, comme nous le verrons, sont les formules explicites de Weil. Dans la suite, la notation ≪ réfère à une constante absolue alors que la notation ${\displaystyle {\ll }_n}$ réfère à une constante qui dépend uniquement de n.