PL EN


Preferencje help
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników
Czasopismo
2000 | 92 | 4 | 383-386
Tytuł artykułu

A problem of Galambos on Engel expansions

Autorzy
Treść / Zawartość
Warianty tytułu
Języki publikacji
EN
Abstrakty
EN
1. Introduction. Given x in (0,1], let x = [d₁(x),d₂(x),...] denote the Engel expansion of x, that is,
(1) $x =1/d₁(x) + 1/(d₁(x)d₂(x)) + ... + 1/(d₁(x)d₂(x)...d_n(x)) + ... $,
where ${d_{j}(x), j ≥ 1}$ is a sequence of positive integers satisfying d₁(x) ≥ 2 and $d_{j+1}(x) ≥ d_{j}(x)$ for j ≥ 1. (See [3].) In [3], János Galambos proved that for almost all x ∈ (0,1],
(2) $lim_{n→∞} d_{n}^{1/n}(x) =e.
He conjectured ([3], P132) that the Hausdorff dimension of the set where (2) fails is one. In this paper, we prove this conjecture:
Theorem. $dim_H{x ∈ (0,1]: (2) fails} = 1$.
We use L¹ to denote the one-dimensional Lebesgue measure on (0,1] and $dim_{H}$ to denote the Hausdorff dimension.
Słowa kluczowe
Czasopismo
Rocznik
Tom
92
Numer
4
Strony
383-386
Opis fizyczny
Daty
wydano
2000
otrzymano
1999-06-10
Twórcy
autor
  • Department of Mathematics and Center of Non-linear Science, Wuhan University, 430072, Wuhan, People's Republic of China
Bibliografia
  • [1] P. Erdős, A. Rényi and P. Szüsz, On Engel's and Sylvester's series, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 1 (1958), 7-32.
  • [2] K. J. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 1990.
  • [3] J. Galambos, Representations of Real Numbers by Infinite Series, Lecture Notes in Math. 502, Springer, 1976.
  • [4] J. Galambos, The Hausdorff dimension of sets related to g-expansions, Acta Arith. 20 (1972), 385-392.
  • [5] J. Galambos, The ergodic properties of the denominators in the Oppenheim expansion of real numbers into infinite series of rationals, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 21 (1970), 177-191.
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav92i4p383bwm
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.