Minoration de la hauteur normalisée des hypersurfaces

1. Introduction. Dans un article célèbre, D. H. Lehmer posait la question suivante (voir [Le], §13, page 476): «The following problem arises immediately. If ε is a positive quantity, to find a polynomial of the form: ${\displaystyle f\left(x\right)=x^r+a_1{x}^{r-1}+\cdots +a_r}$ where the a's are integers, such that the absolute value of the product of those roots of f which lie outside the unit circle, lies between 1 and 1 + ε (...). Whether or not the problem has a solution for ε < 0.176 we do not know.» Cette question, toujours ouverte, est la source de nombreuses conjectures: généralisation aux minimums successifs de la hauteur (ou hauteur d'un point dans ${\displaystyle \_m^n}$), hauteur normalisée d'une sous-variété de ${\displaystyle \_m^n}$, ou encore analogues des ces questions sur les variétés abéliennes. Après une brève description de ces questions, nous nous intéresserons plus particulièrement aux hypersurfaces de ${\displaystyle \_m^n}$, pour lesquelles nous donnerons des minorations du type de celles déjà obtenues par Dobrowolski pour les points de ${\displaystyle \_m}$.