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Czasopismo
2000 | 92 | 3 | 239-250
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Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées

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Abstrakty
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1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degré n sur le corps ℚ des nombres rationnels de discriminant $D = D_{L/ℚ}$. Si l'entier D n'est pas un carré, on note d le discriminant du corps quadratique ℚ(√D), sinon on pose d=1. Soit p un nombre premier non-ramifié dans L de sorte que le symbole des restes quadratiques (D/p) soit non-nul. Un théorème déjà ancien dû à A. Pellet ([3, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoï montre que la parité du nombre g d'idéaux premiers de L au-dessus de p est déterminée par ce symbole (D/p). En effet, nous avons $(D/p) = (-1)^{n-g}$.
Plus généralement, même si p est ramifié dans L, on aimerait pouvoir relier le symbole (d/p) à la décomposition $(p) = P₁^{e₁} ... P_g^{e_g}$ de p en produit d'idéaux premiers $P_i$ de L.
Supposons que p n'est pas sauvagement ramifié dans L. Si $f_i$ désigne le degré résiduel de $P_i$ dans l'extension L/ℚ, alors la valuation p-adique du discriminant D est donnée par $v_p(D) = ∑_{i=1}^{g} (e_i - 1)f_i$ [9, Chap. 3, Prop. 13]. Donc le symbole (d/p) est non-nul dès que tous les indices de ramification $e_i$ sont impairs. Dans ce dernier cas, généralisant une série de résultats (Wahlin [10], Hasse [5], Buhler [2], Dribin [4], Kientega [6],...), P. Barrucand et F. Laubie ont établi la formule suivante (également valable dans le cas relatif) [1]:
(d/p) = (-1)^F (p/E) avec E = ∏_{2∤{f_i}} e_i et F = ∑_{2|f_i}1.
Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypothèse sur la parité des indices de ramification $e_i$. Cet article s'inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspiré.
Słowa kluczowe
Czasopismo
Rocznik
Tom
92
Numer
3
Strony
239-250
Opis fizyczny
Daty
wydano
2000
otrzymano
1999-02-26
poprawiono
1999-09-06
Twórcy
autor
  • LACO (UPRESA 6090 CNRS), Département de mathématiques, Université de Limoges, 123 Avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex, France
autor
  • LACO (UPRESA 6090 CNRS), Département de mathématiques, Université de Limoges, 123 Avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex, France
Bibliografia
  • [1] P. Barrucand et F. Laubie, Sur les symboles des restes quadratiques des discriminants, Acta Arith. 48 (1987), 81-88.
  • [2] J. P. Buhler, Icosahedral Galois Representations, Lecture Notes in Math. 654, Springer, 1978.
  • [3] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, reprinted by Chelsea, 1952.
  • [4] D. M. Dribin, Permutation groups, Ann. of Math. 38 (1937), 739-749.
  • [5] H. Hasse, Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischen Grundlage, Math. Z. 31 (1930), 565-582.
  • [6] G. Kientega, Sur les corps algébriques du quatrième degré, thèse de troisième cycle, Publ. Univ. Paris VI, 1980.
  • [7] W. Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, 2nd ed., Springer, Berlin; PWN-Polish Sci. Publ., Warszawa, 1990.
  • [8] J. Neukirch, Class Field Theory, Grundlehren Math. Wiss. 280, Springer, 1986.
  • [9] J.-P. Serre, Corps locaux, troisième édition, Hermann, Paris, 1968.
  • [10] G. E. Wahlin, The factorisation of the rational primes in a cubic domain, Amer. J. Math. 44 (1922), 191-203.
  • [11] E. Weiss, Algebraic Number Theory, reprinted by Chelsea, 1963.
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav92i3p239bwm
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