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Czasopismo
1995 | 69 | 1 | 39-50
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Sur un problème de L. Carlitz

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FR
Abstrakty
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1. Introduction. Dickson a conjecturé en 1909 dans [4] que toute forme binaire Q(X,Y) de degré pair 2r, r>1, à coefficients dans un corps fini $𝔽_q$ de caractéristique différente de 2 telle que, pour tout (a,b) de $𝔽_q × 𝔽_q$ distinct de (0,0), Q(a,b) soit un carré non nul de $𝔽_q$ est un carré dès que q dépasse une certaine borne $N_r$ qui ne dépend que de r. Cette conjecture a été démontrée en 1947 par Carlitz dans [1] où il a montré que, si d est un entier ≥2, q une puissance d'un nombre premier impair telle que q>(d-1)² et f un élément de $𝔽_q[X]$ de degré d tel que, pour tout x de $𝔽_q$, f(x) soit un carré non nul de $𝔽_q$, f est un carré de $𝔽_q[X]$. Carlitz est revenu sur cette question dans deux autres articles [2] et [3] démontrant notamment dans [2] que, pour tout entier d≥2, il existe un entier N(d) tel que, si q≥3 est une puissance d'un nombre premier impair telle que q>N(d) et si f est un élément de degré d de $𝔽_q[X]$ tel que, pour tout x de $𝔽_q$, f(x) soit un carré de $𝔽_q$, f est un carré de $𝔽_q[X]$.
Nous reprenons ici ce problème de Carlitz en montrant que, pour d impair, on peut prendre N(d)=d², que pour d pair ≥4, on peut prendre N(d)=(d-1)² et que ces valeurs de N(d) ne peuvent en général être améliorées; nous montrons aussi, en adaptant une méthode introduite par Stark [9], que lorsqu'on se restreint aux corps finis premiers, on peut prendre N(d)=(d²+2d-1)/2 pour d impair et (d²+d-4)/2 pour d pair et ≥4. Nous avons étudié ce problème dans un cadre un peu plus général en définissant des fonctions généralisant la borne N(d) de Carlitz et c'est l'étude de ces dernières qui est à la base de nos résultats.
Je remercie G. Terjanian qui m'a aidé dans ce travail et le rapporteur pour ses remarques qui m'ont permis d'améliorer la rédaction de cet article.
Słowa kluczowe
Czasopismo
Rocznik
Tom
69
Numer
1
Strony
39-50
Opis fizyczny
Daty
wydano
1995
otrzymano
1993-04-30
poprawiono
1994-04-17
Twórcy
  • Département de Mathématiques Appliquées et Informatique, Faculté des Sciences et Techniques, Université Cadi Ayyad, B.P. 71, Beni-Mellal, Maroc
Bibliografia
  • [1] L. Carlitz, A problem of Dickson's, Duke Math. J. 14 (1947), 1139-1140.
  • [2] L. Carlitz, A problem of Dickson, Duke Math. J. 19 (1952), 471-474.
  • [3] L. Carlitz, Note on a problem of Dickson, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 98-100.
  • [4] L. E. Dickson, Definite forms in a finite field, Trans. Amer. Math. Soc. 10 (1909), 109-122.
  • [5] W. Ljunggren, Über einige Arcustangensgleichungen die auf interessante unbestimmte Gleichungen führen, Ark. Mat. Astr. Fys. 29A (1943), no. 13, 11 pp.
  • [6] T. Nagell, Verallgemeinerung eines Fermatschen Satzes, Arch. Math. (Basel) 5 (1954), 153-159.
  • [7] W. Narkiewicz, Classical Problems in Number Theory, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1986.
  • [8] W. M. Schmidt, Equations over Finite Fields. An Elementary Approach, Lecture Notes in Math. 536, Springer, 1976.
  • [9] H. M. Stark, On the Riemann hypothesis in hyperelliptic function fields, in: Proc. Sympos. Pure Math. 24, Amer. Math. Soc., 1973, 285-302.
  • [10] A. Weil, Variétés abéliennes et courbes algébriques, Hermann, Paris, 1948.
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
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