Sur un problème de L. Carlitz

• Autorzy: Saïd El Baghdadi
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Abstrakty

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1. Introduction. Dickson a conjecturé en 1909 dans [4] que toute forme binaire Q(X,Y) de degré pair 2r, r>1, à coefficients dans un corps fini $𝔽_q$ de caractéristique différente de 2 telle que, pour tout (a,b) de $𝔽_q × 𝔽_q$ distinct de (0,0), Q(a,b) soit un carré non nul de $𝔽_q$ est un carré dès que q dépasse une certaine borne $N_r$ qui ne dépend que de r. Cette conjecture a été démontrée en 1947 par Carlitz dans [1] où il a montré que, si d est un entier ≥2, q une puissance d'un nombre premier impair telle que q>(d-1)² et f un élément de $𝔽_q[X]$ de degré d tel que, pour tout x de $𝔽_q$, f(x) soit un carré non nul de $𝔽_q$, f est un carré de $𝔽_q[X]$. Carlitz est revenu sur cette question dans deux autres articles [2] et [3] démontrant notamment dans [2] que, pour tout entier d≥2, il existe un entier N(d) tel que, si q≥3 est une puissance d'un nombre premier impair telle que q>N(d) et si f est un élément de degré d de $𝔽_q[X]$ tel que, pour tout x de $𝔽_q$, f(x) soit un carré de $𝔽_q$, f est un carré de $𝔽_q[X]$.
Nous reprenons ici ce problème de Carlitz en montrant que, pour d impair, on peut prendre N(d)=d², que pour d pair ≥4, on peut prendre N(d)=(d-1)² et que ces valeurs de N(d) ne peuvent en général être améliorées; nous montrons aussi, en adaptant une méthode introduite par Stark [9], que lorsqu'on se restreint aux corps finis premiers, on peut prendre N(d)=(d²+2d-1)/2 pour d impair et (d²+d-4)/2 pour d pair et ≥4. Nous avons étudié ce problème dans un cadre un peu plus général en définissant des fonctions généralisant la borne N(d) de Carlitz et c'est l'étude de ces dernières qui est à la base de nos résultats.
Je remercie G. Terjanian qui m'a aidé dans ce travail et le rapporteur pour ses remarques qui m'ont permis d'améliorer la rédaction de cet article.

• Wydawca: Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences
• Czasopismo: Acta Arithmetica
• Rocznik: 1995
• Tom: 69
• Numer: 1
• Strony: 39-50

Daty

wydano

1995

otrzymano

1993-04-30

poprawiono

1994-04-17

Twórcy

autor

Saïd El Baghdadi

• Département de Mathématiques Appliquées et Informatique, Faculté des Sciences et Techniques, Université Cadi Ayyad, B.P. 71, Beni-Mellal, Maroc

Bibliografia

• [1] L. Carlitz, A problem of Dickson's, Duke Math. J. 14 (1947), 1139-1140.
• [2] L. Carlitz, A problem of Dickson, Duke Math. J. 19 (1952), 471-474.
• [3] L. Carlitz, Note on a problem of Dickson, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 98-100.
• [4] L. E. Dickson, Definite forms in a finite field, Trans. Amer. Math. Soc. 10 (1909), 109-122.
• [5] W. Ljunggren, Über einige Arcustangensgleichungen die auf interessante unbestimmte Gleichungen führen, Ark. Mat. Astr. Fys. 29A (1943), no. 13, 11 pp.
• [6] T. Nagell, Verallgemeinerung eines Fermatschen Satzes, Arch. Math. (Basel) 5 (1954), 153-159.
• [7] W. Narkiewicz, Classical Problems in Number Theory, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1986.
• [8] W. M. Schmidt, Equations over Finite Fields. An Elementary Approach, Lecture Notes in Math. 536, Springer, 1976.
• [9] H. M. Stark, On the Riemann hypothesis in hyperelliptic function fields, in: Proc. Sympos. Pure Math. 24, Amer. Math. Soc., 1973, 285-302.
• [10] A. Weil, Variétés abéliennes et courbes algébriques, Hermann, Paris, 1948.