Sur un problème de L. Carlitz

1. Introduction. Dickson a conjecturé en 1909 dans [4] que toute forme binaire Q(X,Y) de degré pair 2r, r>1, à coefficients dans un corps fini ${\displaystyle \_q}$ de caractéristique différente de 2 telle que, pour tout (a,b) de ${\displaystyle \_q{\times }_q}$ distinct de (0,0), Q(a,b) soit un carré non nul de ${\displaystyle \_q}$ est un carré dès que q dépasse une certaine borne ${\displaystyle N_r}$ qui ne dépend que de r. Cette conjecture a été démontrée en 1947 par Carlitz dans [1] où il a montré que, si d est un entier ≥2, q une puissance d'un nombre premier impair telle que q>(d-1)² et f un élément de ${\displaystyle \_q\left[X\right]}$ de degré d tel que, pour tout x de ${\displaystyle \_q}$, f(x) soit un carré non nul de ${\displaystyle \_q}$, f est un carré de ${\displaystyle \_q\left[X\right]}$. Carlitz est revenu sur cette question dans deux autres articles [2] et [3] démontrant notamment dans [2] que, pour tout entier d≥2, il existe un entier N(d) tel que, si q≥3 est une puissance d'un nombre premier impair telle que q>N(d) et si f est un élément de degré d de ${\displaystyle \_q\left[X\right]}$ tel que, pour tout x de ${\displaystyle \_q}$, f(x) soit un carré de ${\displaystyle \_q}$, f est un carré de ${\displaystyle \_q\left[X\right]}$. Nous reprenons ici ce problème de Carlitz en montrant que, pour d impair, on peut prendre N(d)=d², que pour d pair ≥4, on peut prendre N(d)=(d-1)² et que ces valeurs de N(d) ne peuvent en général être améliorées; nous montrons aussi, en adaptant une méthode introduite par Stark [9], que lorsqu'on se restreint aux corps finis premiers, on peut prendre N(d)=(d²+2d-1)/2 pour d impair et (d²+d-4)/2 pour d pair et ≥4. Nous avons étudié ce problème dans un cadre un peu plus général en définissant des fonctions généralisant la borne N(d) de Carlitz et c'est l'étude de ces dernières qui est à la base de nos résultats. Je remercie G. Terjanian qui m'a aidé dans ce travail et le rapporteur pour ses remarques qui m'ont permis d'améliorer la rédaction de cet article.