Classification des formes quadratiques réelles: un contre-exemple à la finitude

1. Introduction. On doit à G. Voronoï [Vo] un algorithme de classification complète des formes quadratiques parfaites. Il est dès lors possible, en principe, de déterminer en un temps fini la constante d'Hermite γₙ, qui décrit dans ℝⁿ la densité maximale des empilements de sphères en réseau. L'énorme complexité de l'algorithme lui donne une limite naturelle: il semble actuellement impensable de dépasser la dimension 8, où les explorations ont déjà fourni des milliers de formes parfaites. Signalons cependant que la constante γ₈ a été trouvée par une approche différente (Blichfeldt 1926), et que sa valeur vient d'être confirmée par la détermination de γ₇ [Ja1]. Dans [BMS], on envisage la restriction de l'algorithme de Voronoï à un sous-espace affine T de l'espace vectoriel des formes quadratiques réelles (il faut introduire une restriction géométrique, qui sera clairement remplie ci-dessous: les empilements de sphères associés aux formes T-parfaites doivent être connexes). Dans une telle situation, l'algorithme est exhaustif, mais l'existence d'une condition d'arrêt n'est pas établie. Un des exemples ci-après montrera qu'elle n'existe pas en général. Mentionnons cependant un résultat important [Ja2]: Dans le cas des G-formes (invariantes sous l'action d'un groupe fini G), il n'existe qu'un nombre fini de formes G-parfaites, à G-équivalence près.